たけちゅさん宅

たけちゅが思ったこと、したこと、つれづれなるままに

ババ抜きの数学的解釈:快適勝利に向けた戦略論。

ババ抜きの快適勝利(相手に最後のカード1枚をひかせて勝つ)のための探求。

(以下、ただし最後の2人に残ることを想定せず。)


●常に「偶数枚」減っていく
隣の人にカードを抜かれる分、カードを抜く。
そして、ペアが揃ったら捨てることができる。
つまり、偶数枚ずつ減っていくことになる。

初期枚数が偶数であれば、いつまでも偶数となる。
8→6→4→2となる。
ここで、カードをとられることで、1枚となり、次にカードをひく必要性が出てくる。

一方で、初期枚数が奇数であれば、いつまでも奇数となる。
7→5→3となる。
ここで、カードをひかれることで、2枚となり、次にカードをひいてペアが揃えば、残り1枚。
そして、もちろんカードをひいてもらうことで勝利となる。

つまり、常に「偶数枚」でしか減っていかないのであるから、初期枚数が奇数でないと、快適勝利には至らない。



●初期枚数が奇数になる割合(確率)

これは先日の日記で、示した数式から計算できる。

人数をN人とする。
53≡X (mod N)となる正整数Xについて。
(53-Xmin)/N枚をもつ人が、N-Xmin人
(53-Xmin)/N+1枚をもつ人が、Xmin人
以上の式が成立する。

今回は、Nを2-26で計算してみた。
Y=(53-Xmin)/N
とした。

そして、Yが奇数ならば快適勝利に至る初期手札の割合は(N-Xmin)/Nとなる。
一方で、Yが偶数(Y+1が奇数)ならば快適勝利に至る初期手札の割合はXmin/Nとなる。

以上の想定で計算した結果がこちら
f:id:takechuuu634:20140307154855j:plain

「初期手札の偶奇と、快適勝利に至る人数の偶奇に相関性が見られるのではないか、と一番初めは考えていたが、そんなことはなかった。

そして、この割合をグラフにした結果がこちら。
f:id:takechuuu634:20140307155018j:plain



結果より。
N=4, 6, 8, 11, 18においてピークが見られる。
N=8, 4, 11, 6, 18の順でピーク値が増加していく。


よって、ババ抜きにおいて快適勝利(相手に最後の1枚をひかせて勝つ)のために初期枚数が奇数である割合が増えるのは、人数が4, 6, 8, 11, 18人の時であることが示された。

現実的なゲームを想定した場合であれば、4, 6人でババ抜きをする時に人は快適勝利をしている割合が増えると想定される。逆に、9人の場合に快適勝利の割合が最低となり、より緊迫したババ抜き(相手の1枚を抜いてペアをつくる)となると考えられる。



あとがき;

先日、バイト先でババ抜きをしていて、なぜ「カードを抜いてもらって勝つ人」と「カードをひいてペアを作って勝つ人」が出てくるのか、と疑問に思ったことにはじまる。特に、カードが2枚ずつ減っていくことから、初期枚数の偶奇に何かあるな、と睨んで考えてみた。。。意外とおもしろい結果だと思う。ババ抜きの最適化。